Aplicacion de las coordenadas rectangulares y polares

Coordenadas Polares y sus Aplicaciones
A todo punto P del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x,y) podemos asignarle las siguientes coordenadas:
r=distancia del origen de coordenadas (0,0) al punto P
=ángulo desde el semieje positivo del eje X al segmento que une el origen de coordenadas con P
Representado gráficamente sería así:

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:
Rectangulares en función de las polares

Polares en función de las rectangulares

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias).
Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, r (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x2+y2=9 como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.
Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento () de z y con ello la forma polar de :
Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.